5. Das Problem der Volumprozent

Zur schnellen Erinnerung — Massenprozent waren definiert zu: die in 100 Massenteilen Lösung (nicht Lösungsmittel) enthaltene Masse des gelösten Stoffes.

Die Definition von Volumprozent ist analog, nur auf das Volumen bezogen: das in 100 Volumteilen Lösung (nicht Lösungsmittel) enthaltene Volumen des gelösten Stoffes.

Wo liegt nun das Problem? Ist nicht (m/m)% = (V/V)%??? Wenn wir zwei Flüssigkeiten (A und B) mischen, so entspricht die Gesamtmasse der Summe von Masse A und Masse B. Das Gesamtvolumen muss aber nicht (!) der Summe von Volumen A und Volumen B entsprechen. Warum? Flüssigkeit A und B können verschiedene Dichtewerte aufweisen, und die Dichte ändert sich nicht linear mit dem Mischungsverhältnis.

5 mL Wasser und	5 mL Ethanol (96% Vol.)		geben weniger als 10 mL Gesamtvolumen

Was bedeutet das nun für das Rechnen mit Volumprozent? Während die Bildung der Summe bzw. Differenz von Massen eindeutig, weil absolut ist, benötigen wir für die Umrechnung zwischen Masse und Dichte Dichtetabellen. Für die Berechnung von Alkohol/Wasser-Mischungen stellt das Österreichische Arzneibuch daher Hilfstabellen bereit:

• XXX. Dichte von Wasser-Äthylalkoholmischungen in Abhängigkeit von Konzentration (in Gewichtsprozent) und Temperatur
• XXXI. Tabelle zur Umwandlung von Gewichtsprozent in Volumprozent bei Wasser-Äthylalkoholmischungen

Ergänzend steht zur Verfügung: Ein Rechenprogramm ("Alkoholrechner") auf Basis dieser Tabellen...

MINI-ALKOHOLRECHNER Hier wird der "Alkoholrechner" in einem eigenen Fenster gestartet *)

*) Das hat den Vorteil, dass der Alkoholrechner bei der Bearbeitung von Rechenbeispielen "daneben" verwendet werden kann...

Das heißt weiters: Wenn wir Volumenangaben haben, brauchen wir die zugehörigen Dichten, um auf Massen umrechnen zu können. Soll das Ergebnis als Volumen angegeben werden, benötigen wir ebenfalls die Dichte der Ziellösung. Oder wir haben entsprechende Hilfstabellen zur Verfügung.

Sollen wir Tabellen verwenden, benötigen wir zusätzlich die Angabe der Temperatur, da die Dichte temperaturabhängig ist!

Der eigentliche Rechenvorgang sieht daher folgendermaßen aus: Er muss immer über die "Massenschiene" laufen, d. h. nur Massen dürfen addiert (bzw. subtrahiert) werden. Volumina müssen immer zuerst auf Massen umgerechnet werden (über die Dichte oder über die Verwendung von Tabellen), Massen schließlich auf Volumen, wenn gefragt (wieder über die Dichte oder über die Verwendung von Tabellen).

Zwei Rechenbeispiele

Beispiel 1. 100 mL Ethanol (96(V/V)%) und 100 mL Ethanol (40(V/V)%) werden gemischt. Wieviel Vol.% hat die Mischung? Temperatur = 20 °C.

Wir haben die Tabellen des Arzneibuches zur Verfügung. Aus Tabelle XXX können wir den Zusammenhang zwischen Dichte und Gewichtsprozent ablesen. Die Tabelle XXXI liefert hingegen den Bezug zwischen Gewichtsprozent und Volumprozent, wir müssen diese Tabelle allerdings "verkehrt herum" verwenden: Wir suchen zu den angegebenen Volumprozenten der beiden Ethanol/Wasser-Mischungen die zugehörigen Gewichtsprozente heraus:

• 96 (V/V)% = 94 (m/m)% = ρ: 0,807
• 40 (V/V)% = 33,3 (m/m)% = ρ: 0,948


• A hat somit eine Masse von 100 x 0,807 = 80,7 g und enthält 80,7 x 94 / 100 = 75,9 g Ethanol
• B hat somit eine Masse von 100 x 0,948 = 94,8 g und enthält 94,8 x 33,3 / 100 = 31,6 g Ethanol

Vereinigen wir die beiden Lösungen, ist die Summe der Massen 80,7 + 94,8 = 175,5 g, der Ethanolgehalt beträgt: 75,9 + 31,6 = 107,5 g.

Die Mischung hat damit einen Alkoholgehalt von 107,5 × 100 / 175,5 = 61,25 (m/m)%. Um auf Volumprozent umzurechnen, benötigen wir wieder die Tabelle (XXXI):
61,25 (m/m)% = 68,9 (V/V)%.

Das ist auch schon die Antwort. Interessant ist vielleicht in diesem Zusammenhang die Frage, welches Volumen die Mischung einnimmt? 100 + 100 = 200 mL ???

Dazu brauchen wir die zugehörige Dichteangabe (Tabelle XXX): 61,25 (m/m)% = ρ: 0,888

Das Volumen der Mischung ergibt sich dann mit: m/ρ = 175,5/0,888 = 197,6 mL.

Wir ersehen daraus, dass bei dem oben durchgeführten Mischungsvorgang eine Volumenkontraktion eintritt!

Beispiel 2. Eine Ethanol/Wasser-Mischung (A) mit 40 (V/V)% Ethanolgehalt soll mit Wasser so verdünnt werden, dass eine 5 (V/V)%-ige Mischung (B) entsteht. Die Temperatur ist wieder 20 °C.

Rechengang "über Massenprozent":

• Umwandlung "Ziellösung B": 5 (V/V)% -> (m/m)% (Tabelle): 3,9 (m/m)%
• Umwandlung "Ausgangslösung A": 40 (V/V)% -> (m/m)% (Tabelle): 33,3 (m/m)%
• "Massenmäßig" muss somit die Lösung auf das 33,3/3,9 = 8,54-Fache verdünnt werden. Das kann auf einer Waage in einem Schritt erledigt werden. Wird mit Messzylindern gearbeitet (d. h. über Volumina), sind zusätzliche Rechenschritte erforderlich:
• Man geht beispielsweise von 100 mL 40(V/V)% Alkohol aus. Eine 33,3 (m/m)%-ige alkoholische Lösung hat nach Tabelle XXX eine Dichte von ρ = 0,948. Die Masse der Lösung beträgt somit: 100 × 0,948 = 94,8 g. Die Masse an Alkohol in dieser Lösung ist 94,8 × 33,3 / 100 = 31,6 g. Die Masse des Wassers umfasst die Differenz mit 94,8 – 31,6 = 63,2 g.
• Um eine Endkonzentration von 3,9 (m/m)% Ethanol zu erreichen, stehen in der "Ziellösung" 31,6 g Ethanol 31,6 × 100/3,9 = 810,3 g Gesamtlösung (= Ethanol + Wasser) gegenüber. Das bedeutet, in der Ziellösung sind 810,3 – 31,6 = 778,7 g Wasser. 63,2 g Wasser stammen bereits aus Mischung A, sodass 778,7 – 63,2 = 715,5 g Wasser zugesetzt werden müssen. Wird das Wasser über einen Messzylinder dimensioniert, muss, genau genommen, noch die Dichte des Wassers einbezogen werden (ρ = 0,9982). Es ergeben sich somit 715,5 / 0,9982 = 716,8 mL "Wasserzusatz".

Dichte des Wassers

Die folgende Tabelle zeigt die Dichte des Wassers bei prominenten Temperaturen:

Das bedeutet: Wenn man die Dichte des Wassers einfach mit ρ = 1,000 annimmt, liegt der Fehler bis 15 °C <0,1%, bei 20 °C bei 0,18%.

Übungsbeispiel(e)

Zum persönlichen Training eine Rechenaufgabe. Verwenden Sie hierfür die Tabellen des Österreichischen Arzneibuchs: Tabelle XXX, Tabelle XXXI.

M. Kratzel (2007-03-05)